北京市計(jì)量檢測(cè)科學(xué)研究院　佟江

　　一、概述

    JJF1059-1999《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示》、JJF1001-1998《通用計(jì)量術(shù)語(yǔ)及定義》給出的“測(cè)量結(jié)果”的定義是:由測(cè)量所得到的賦予被測(cè)量的值。
    JJF1059、JJF1001在表述“測(cè)量不確定度”定義時(shí)，都對(duì)“測(cè)量結(jié)果”做了補(bǔ)充說(shuō)明:測(cè)量結(jié)果應(yīng)理解為被測(cè)量之值的最佳估計(jì)……。
    根據(jù)以上信息，我們對(duì)“測(cè)量結(jié)果”的特征，有了一個(gè)總體的觀點(diǎn):
    (1)測(cè)量結(jié)果是測(cè)量活動(dòng)中反映被測(cè)對(duì)象(被測(cè)量)本質(zhì)屬性的量。
    (2)測(cè)量結(jié)果是量，但具體表現(xiàn)為值，是由測(cè)量所得到的賦予該量的值。
    (3)測(cè)量結(jié)果只能是被測(cè)量的估計(jì)量。由于測(cè)量不確定性的存在，測(cè)量結(jié)果不可能完全反映被測(cè)量。
    (4)測(cè)量結(jié)果要滿足最佳性，是被測(cè)量真值的最佳估計(jì)量。測(cè)量結(jié)果應(yīng)以“盡可能好”的“最佳”方式反映被測(cè)量。
    (1)、(2)、(3)條是可以理解的，但在第(4)條中，何謂“最佳”、“盡可能好”呢？    

　　二、測(cè)量結(jié)果的最佳性

    按照“數(shù)理統(tǒng)計(jì)”觀點(diǎn)，評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量好壞標(biāo)準(zhǔn)主要是指估計(jì)量是否具有以下性質(zhì)。
    無(wú)偏性:設(shè)是參數(shù)θ的估計(jì)量，E()是的數(shù)學(xué)期望(或稱(chēng)平均值)，如果有E()=θ，則稱(chēng)是參數(shù)θ的無(wú)偏估計(jì)量。
    有效性:設(shè)、都是參數(shù)θ的無(wú)偏估計(jì)量，D()、D()分別是、的方差，如果有D()≤D()，則稱(chēng)是比有效的估計(jì)量。若是參數(shù)θ所有無(wú)偏估計(jì)量中方差最小的估計(jì)量，則稱(chēng)是參數(shù)θ的最有效無(wú)偏估計(jì)量，又稱(chēng)最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)量。
    在以“數(shù)理統(tǒng)計(jì)”為基礎(chǔ)的“估值理論”中，通常把無(wú)偏性與最優(yōu)性(或稱(chēng)最有效性)作為追求目標(biāo)，所以構(gòu)造估計(jì)量時(shí)，把滿足這兩個(gè)性質(zhì)的估計(jì)量——最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)量認(rèn)為是“最佳”估計(jì)量。這個(gè)結(jié)論對(duì)于測(cè)量結(jié)果同樣適用，從這點(diǎn)出發(fā)，可對(duì)“測(cè)量結(jié)果最佳性”作出定性解釋。
    測(cè)量結(jié)果是被測(cè)量真值的最佳估計(jì)量，是指得到的測(cè)量結(jié)果應(yīng)該是被測(cè)量真值的最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)量，它應(yīng)該具有如下兩個(gè)屬性:
    無(wú)偏性:是指測(cè)量結(jié)果的數(shù)學(xué)期望(或稱(chēng)平均值)，就是被測(cè)量真值，表明對(duì)被測(cè)量真值的估計(jì)雖有分散，但總體上不偏離。
    最優(yōu)性:是指在滿足無(wú)偏性條件下，測(cè)量結(jié)果的方差為最小，表明對(duì)被測(cè)量真值估計(jì)的分散程度達(dá)到最小。
    若把測(cè)量結(jié)果和被測(cè)量真值分別比作“打靶模型”中的子彈和靶心，無(wú)偏性是指數(shù)發(fā)子彈要“打得正”；最優(yōu)性是指數(shù)發(fā)子彈要“打得密集(集中)”，這樣的成績(jī)才算是“最佳”的。
    根據(jù)經(jīng)典的“誤差理論”，測(cè)量結(jié)果除包含被測(cè)量真值，還包含系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差，即:
    測(cè)量結(jié)果=被測(cè)量真值+系統(tǒng)誤差+隨機(jī)誤差
    隨機(jī)誤差是隨機(jī)不確定性量，其數(shù)學(xué)期望(均值)通常設(shè)為零。系統(tǒng)誤差是確定量，它的存在使測(cè)量結(jié)果不滿足無(wú)偏性，故須考慮用系統(tǒng)誤差值修正，使修正后的測(cè)量結(jié)果滿足無(wú)偏性。然而，系統(tǒng)誤差及其原因不能完全獲知，僅能有限獲知并有限修正。所以可認(rèn)為，系統(tǒng)誤差分成如下兩個(gè)部分:
    確定性系統(tǒng)誤差(以下簡(jiǎn)稱(chēng)確定系差)就是能夠修正、補(bǔ)償?shù)南到y(tǒng)誤差部分，該部分誤差可以根據(jù)已知系統(tǒng)效應(yīng)確定，具有完全確定性，其相反數(shù)就是測(cè)量結(jié)果的修正量(值)。
    非確定性系統(tǒng)誤差(以下簡(jiǎn)稱(chēng)非確定系差)就是不能夠修正、補(bǔ)償?shù)南到y(tǒng)誤差部分，該部分誤差由于系統(tǒng)的復(fù)雜性、認(rèn)知的不足等因素，不能確定、難以確定或沒(méi)必要確定，所以它具有等效的隨機(jī)不確定性，由于對(duì)它未掌握，故其數(shù)學(xué)期望(均值)作為零處理。
    于是，系統(tǒng)誤差是確定系差與非確定系差的合成，即:
    系統(tǒng)誤差=確定系差+非確定系差
    測(cè)量結(jié)果就可表示為如下形式:
    測(cè)量結(jié)果=被測(cè)量真值+確定系差+非確定系差+隨機(jī)誤差
    現(xiàn)引入以下符號(hào)表示有關(guān)量:R——測(cè)量結(jié)果；δ——確定性系統(tǒng)誤差；C——被測(cè)量真值；ε——非確定性系統(tǒng)誤差；Δ——系統(tǒng)誤差；ξ——隨機(jī)誤差。
    上述公式就是:Δ=δ+ε
    R=C+Δ+ξ=C+δ+ε+ξ
    由于C、δ、ε、ξ這些量存在質(zhì)的差異，所以它們都是相互獨(dú)立的量，故有:
    E(C)=C；E(δ)=δ；E(ε)=0；E(ξ)=0
    E(R)=E(C)+E(δ)+E(ε)+E(ξ)=C+δ，即E(R-δ)=C  (1)
    D(C)=0；D(δ)=0；D(ε)=σ_ε²；D(ξ)=σ_ξ²
    D(R)=σ_R²=D(C)+D(δ)+D(ε)+D(ξ)=σ_ε²+σ_ξ²  (2)
    其中，E(  )——相應(yīng)量的數(shù)學(xué)期望；D(  )——相應(yīng)量的方差；σ——相應(yīng)量的標(biāo)準(zhǔn)差。
    從以上結(jié)論可對(duì)“測(cè)量結(jié)果最佳性”作出如下定量解釋:
    無(wú)偏性:式(1)表示，用修正量(即:確定系差的相反數(shù))修正后的測(cè)量結(jié)果，是被測(cè)量真值的無(wú)偏估計(jì)，滿足無(wú)偏性。
    最優(yōu)性:式(2)表示，修正后的測(cè)量結(jié)果方差(即分散性)是系統(tǒng)效應(yīng)與隨機(jī)效應(yīng)引起的方差(即分散性)的合成。該方差達(dá)到最小時(shí)滿足最優(yōu)性，測(cè)量結(jié)果就是被測(cè)量真值的最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)量，即最佳估計(jì)量。
    從式(2)我們還得到式(3):
    
　　從式(3)得出一個(gè)重要結(jié)論，由系統(tǒng)效應(yīng)引起的不確定性(度)分量與隨機(jī)效應(yīng)引起的不確定性(度)分量都貢獻(xiàn)給了測(cè)量結(jié)果的分散性，使測(cè)量結(jié)果具有不確定性(度)。式(3)實(shí)際就是“測(cè)量不確定度”(嚴(yán)格地說(shuō)是“標(biāo)準(zhǔn)不確定度”)的形式化數(shù)學(xué)定義。該數(shù)學(xué)表達(dá)在JJF1059、JJF1001沒(méi)有明確給出，但從字里行間卻能夠品味到它的存在。筆者認(rèn)為，式(3)對(duì)正確理解JJF1059、JJF1001中“測(cè)量不確定度”概念是有益的。

　　這樣，“測(cè)量結(jié)果最佳性”又可解釋為:修正后的測(cè)量結(jié)果滿足無(wú)偏性，在此條件下，如果測(cè)量(標(biāo)準(zhǔn))不確定度達(dá)到最小，則測(cè)量結(jié)果就是被測(cè)量真值的最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)量，即最佳估計(jì)量。

　　但是，如何使式(2)的測(cè)量方差，或式(3)表示的測(cè)量(標(biāo)準(zhǔn))不確定度達(dá)到最小呢？由式(3)可知，測(cè)量不確定度σ_R是非確定系差不確定度σ_ε與隨機(jī)誤差不確定度σ_ξ按幾何方式(或稱(chēng)矢量方式)合成的，非確定系差與隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，所以σ_R達(dá)到最小當(dāng)且僅當(dāng)σ_ε與σ_ξ都達(dá)到最小。σ_ξ是由于隨機(jī)效應(yīng)引起的不確定度，與統(tǒng)計(jì)相關(guān)，根據(jù)“數(shù)理統(tǒng)計(jì)”，σ_ξ有一個(gè)與隨機(jī)誤差概率分布f(x)和測(cè)量次數(shù)n有關(guān)的下限值L(f，n)，σ_ξ達(dá)到此下限值即達(dá)到最小，并且還可證明，，這說(shuō)明通過(guò)增加測(cè)量次數(shù)n，有助于使σ_ξ達(dá)到最小。σ_ε是由于系統(tǒng)效應(yīng)引起的不確定度，與測(cè)量手段和對(duì)系統(tǒng)認(rèn)知的程度相關(guān)，通過(guò)改善測(cè)量手段，如正反行程讀數(shù)、正倒鏡測(cè)量取平均等，可以有效消除系統(tǒng)誤差以減少σ_ε；提高對(duì)系統(tǒng)認(rèn)知程度，研究、建立系統(tǒng)誤差的數(shù)學(xué)模型，使更多系統(tǒng)效應(yīng)由未知變?yōu)橐阎拚綔y(cè)量結(jié)果中，這是減少σ_ε的最有效途徑；通過(guò)有益的信息，如測(cè)量?jī)x器的檢定或校準(zhǔn)信息、測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息等，獲得最可靠修正量(值)修正測(cè)量結(jié)果，這是減少σ_ε的快捷手段。

　　以上討論了“測(cè)量結(jié)果最佳性”的內(nèi)涵。“測(cè)量結(jié)果最佳性”與“測(cè)量不確定度”概念的靈活性、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性是相互關(guān)聯(lián)、相互映襯的。所以，正確理解它們的涵義，有益于在測(cè)量實(shí)踐活動(dòng)中，正確獲取測(cè)量結(jié)果，正確評(píng)定測(cè)量不確定度。