JJF1059-1999《測量不確定度評定與表示》規(guī)定，除計量學(xué)基礎(chǔ)研究基本物理常數(shù)測量，以及復(fù)現(xiàn)國際單位制單位的國際比對等領(lǐng)域通常僅給出合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度外，在其余領(lǐng)域中一般均要求給出測量結(jié)果的擴展不確定度。顯然，擴展不確定度U_p的大小與所要求的置信概率p有關(guān)。與擴展不確定度U_p所對應(yīng)的置信概率p通常是事先規(guī)定的(在大多數(shù)情況下規(guī)定置信概率p=0.95)。由于置信概率p與包含因子k之間的函數(shù)關(guān)系與被測量Y的分布有關(guān)，因此要由置信概率p求出包含因子k，必須先確定被測量Y的分布。并根據(jù)被測量Y的不同分布采用不同的方法來確定包含因子k。
    被測量Y的分布是由所有各輸入量X_i的影響綜合而成的，它與各輸入量的分布以及不確定度分量的大小有關(guān)。對于不同的被測量，由于輸入量以及數(shù)學(xué)模型各不相同，因此要給出確定被測量Y分布的通用模式幾乎是不可能的。一般只能根據(jù)具體情況來判斷被測量Y可能接近于何種分布。
    被測量Y可能值的分布，大體上可以分為下列三種情況:
    (1)被測量 Y接近于正態(tài)分布；
    (2)被測量Y不接近于正態(tài)分布，但接近于某種其他的已知分布，如矩形分布、三角分布、梯形分布等；
    (3)以上兩種情況均不成立，即無法判斷被測量Y的分布。

一、被測量Y的分布接近于正態(tài)分布的判定——中心極限定理

   在統(tǒng)計數(shù)學(xué)中，凡采用極限方法所得出的一系列定理，習(xí)慣統(tǒng)稱極限定理。按其內(nèi)容，極限定理可以分為兩大類。第一種類型的極限定理，是闡述在什么樣的條件下，隨機事件有接近于0或1的概率。也就是說，是證明在什么樣的條件下，隨機事件可以轉(zhuǎn)化為不可能事件或必然事件。有關(guān)這一類定理統(tǒng)稱為大數(shù)定理。第二種類型的極限定理，是闡述在什么樣的條件下，隨機變量之和的分布接近于正態(tài)分布。也就是說，是證明在什么樣的條件下，隨機變量之和的分布可以轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布。有關(guān)這一類定理統(tǒng)稱為中心極限定理。
    中心極限定理是概率論的基本極限定理之一，它擴展了正態(tài)分布的實用范圍。簡單地說，中心極限定理可以敘述為:如果一個隨機變量等于大量的相互獨立的隨機變量之和，則不論這些獨立隨機變量具有何種類型的分布，該隨機變量的分布近似于正態(tài)分布。隨著獨立隨機變量個數(shù)的增加，它們的和就越接近于正態(tài)分布。當(dāng)這些隨機變量的大小相互越接近，所需的獨立隨機變量個數(shù)就越少。在擴展不確定度的評定中，將涉及如何用中心極限定理來判斷被測量Y是否服從或接近正態(tài)分布。
    應(yīng)用中心極限定理可得到下述主要推論:
    (1)如果，即被測量(輸出量)Y是各輸入量X_i的線性函數(shù)，且各X_i可能值的分布均為正態(tài)分布并相互獨立，則Y服從正態(tài)分布。也就是說，正態(tài)分布的線性疊加仍是正態(tài)分布。
    (2)即使隨機變量X_i不是正態(tài)分布，根據(jù)中心極限定理，只要Y的方差σ²(Y)比各輸入量X_i的分量的方差(X_i)大得多，或各分量的方差(X_i)相互接近，則Y近似地滿足正態(tài)分布。
    (3)若在相同條件下對被測量Y作多次重復(fù)測量(m次)，并取平均值作為被測量的最佳估計值。此時不論Y為何種分布，隨測量次數(shù)m的增大，的分布趨于正態(tài)分布。
    即使對于非線性數(shù)學(xué)模型y=f(x₁，x₂，…x_n)，只要其泰勒級數(shù)展開式的一階近似成立，即滿足不確定度傳播定律:
    
    則仍可以得到下述推論:
    (1)若輸入量X_i的個數(shù)越多，Y就越接近于正態(tài)分布；
    (2)若各輸入量X_i對被測量Y的不確定度的貢獻(xiàn)大小c_iu(x_i)相互越接近，則Y就越接近于正態(tài)分布；
    (3)為使被測量Y的分布與正態(tài)分布達(dá)到一定的接近程度，若各輸入量X_i本身越接近于正態(tài)分布，則所需的輸入量X_i的個數(shù)就越少。
    根據(jù)上述推論，在測量不確定度評定中可以應(yīng)用下述判據(jù)來確定是否可以近似地估計為正態(tài)分布:
    (1)在重復(fù)性或復(fù)現(xiàn)性條件下多次重復(fù)測量的算術(shù)平均值的分布；
    (2)若給出被測量Y的擴展不確定度U_p，并對其分布沒有特殊注明時；
    (3)若被測量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c(y)中相互獨立的分量u_i(y)較多，并且它們之間的大小也比較接近時；
    (4)若被測量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c(y)中，有兩個相互獨立的界限值接近的三角分布，或有4個或4個以上相互獨立的界限值接近的均勻分布時；
    (5)若被測量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c(y)的相互獨立分量中，量值較大而起決定性作用的分量接近正態(tài)分布時；
    (6)當(dāng)所有分量均滿足正態(tài)分布時。
    總之，正態(tài)分布的判定要求不確定度分量越多越好，且各分量的大小越接近越好。

二、被測量Y接近于某種非正態(tài)分布的判定

   當(dāng)不確定度分量的數(shù)目不多，且其中有一個分量為占優(yōu)勢的分量，則可以判定被測量Y的分布接近于該占優(yōu)勢分量的分布。
    各不確定度分量中的最大分量是否為占優(yōu)勢的分量可用下述方法判定:將所有不確定度分量按大小次序排列，如果第二個不確定度分量的大小與最大分量之比不超過0.3，同時所有其他分量均很小時，則可以認(rèn)為第一個分量為占優(yōu)勢的分量。或者說，當(dāng)所用其他分量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度不超過最大分量的0.3倍時，可以判定最大分量為占優(yōu)勢的分量。對于該判定標(biāo)準(zhǔn)可以作如下分析。
    假定在測量不確定度概算中，有N個不確定度分量。其中有一個分量是明顯占優(yōu)勢的分量，并假定它為u₁(y)，則測量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c(y)可以表示為:
    
    式中u_R(y)為所有其他非優(yōu)勢分量的合成，即
    
    將式(1)展開后，可得:
    
    當(dāng)條件滿足時，等式右邊方括號中的第二項為:
    
    也就是說，與優(yōu)勢分量u₁(y)相比，所有其他分量對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的影響不足5%。對于不確定度評定來說，它對被測量分布的影響完全可以忽略。
    進(jìn)一步推論，若在各不確定度分量中，沒有任何一個分量是占優(yōu)勢的分量，但如能發(fā)現(xiàn)其中最大兩個分量能合成為占優(yōu)勢的分量，即所有其他分量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度與兩個最大分量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度之比不超過0.3時，則可以認(rèn)為被測量的分布接近于該兩個最大分量的合成分布。例如:若兩個最大分量均為矩形分布且寬度相等，則被測量接近于三角分布；若兩者為寬度不等的矩形分布，則被測量接近于梯形分布。
    總之，被測量Y接近于正態(tài)分布和接近于其他某種非正態(tài)分布是兩種不同的極端情況。正態(tài)分布的判定要求不確定度分量的數(shù)目越多越好，且各分量的大小越接近越好。而其他分布的判定則要求不確定度分量的數(shù)目越少越好，且各分量的大小相差越懸殊越好。
    當(dāng)無法用中心極限定理判斷被測量接近于正態(tài)分布，同時也沒有任何一個分量，或若干個分量合成為占優(yōu)勢的分量，此時可以認(rèn)為無法判定被測量Y的分布。
    被測量Y分布的判定還需要有實際的經(jīng)驗，下面舉例說明如何根據(jù)各不確定度分量的分布和大小來判斷被測量的分布。所有的例子均來自于不確定度評定的實例。
    例1:各不確定度分量的大小和分布見表1。
  

   共有6個不確定度分量，其中4個較大的不確定度分量大小相近，故根據(jù)中心極限定理立即可以判定被測量接近于正態(tài)分布。
    例2:各不確定度分量的大小和分布見表2。  

   由于:
    (1)在5個不確定度分量中，沒有任何一個不確定度分量是明顯占優(yōu)勢的分量；
    (2)兩個最大的分量為正態(tài)分布，且正態(tài)分布的線性疊加仍為正態(tài)分布；
    (3)3個較小分量均是矩形分布，其合成分布呈凸形，比較接近于正態(tài)分布。
    于是可以判斷被測量接近于正態(tài)分布。
    例3:各不確定度分量的大小和分布見表3。  

   由于:
    (1)在4個不確定度分量中，兩個較小的不確定度分量對合成分布的貢獻(xiàn)不大。兩個最大分量及其合成不服從正態(tài)分布，故被測量不接近于正態(tài)分布；
    (2)第4個分量是最大分量，但它在合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度中不是占優(yōu)勢的分量，故也不能判定被測量接近于矩形分布；
    (3)由于有兩個不確定度分量甚小，故兩個較大分量的合成在合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度中是占優(yōu)勢的分量，故被測量接近于兩個較大分量的合成分布。
    兩個不等寬度矩形分布的合成滿足梯形分布，故被測量接近于梯形分布。其中第三個分量是由半寬度為25μm的矩形分布得到的，第四個分量是由半寬度為50μm的矩形分布得到的。故合成后，梯形分布上底的半寬為兩者之差25μm，下底的半寬為兩者之和75μm，梯形的角參數(shù)β值為0.33。
    例4:各不確定度分量的大小和分布見表4。   

   由于:
    (1)僅有3個不確定度分量，且最大分量為非正態(tài)分布，故被測量不可能接近正態(tài)分布；
    (2)最大分量是占優(yōu)勢的分量，其大小約為另兩個分量的5倍，故被測量接近于占優(yōu)勢分量的分布，即矩形分布。